DAC傳遞函數

 

圖1顯示一個理想的DAC傳遞函數，它是一條斜線
，y=mx+b. 數字輸入位於x軸
，模擬輸出位於y軸。

 

圖1. 理想的DAC傳遞函數

 

x軸上的目標範圍是從左邊的最小碼(A)到右邊的最大碼(B)。y軸上的目標範圍是從底部的最小輸出值(C)到接近頂部的最大輸出值(D)。定 義理想傳遞函數的斜率(m)和y軸截距(b)的方程式用邊界值A
、B、C、D表示。信號g(t)代表一個無失真的正弦波
，由A至B範圍內的數字輸入組成
，時間軸向下。信號 u(t)代表模擬輸出
，其值在C至D範圍內，時間軸向右。

 

輸出信號是通過傳遞函數反射的輸入信號。請注意，輸出信號是將g(t)上各點鏈接到u(t)上相應點的結果。圖1顯示在特定時間點 t=t_k的傳遞操作例子
，該時間點確定輸入信號上的點g(t_k)。傳遞函數進而將g(t_k)鏈接到輸出信號上的相應點u(t_k)。對於理想的線性傳遞函數， u(t)與g(t)成比例關係。請注意，g(t_k)對應於x軸上的點x_k，它通過傳遞函數反射至y軸上的點y_k。借助關於耦合點集(g(t _n),u(t_n))的已有知識，可以確定傳遞函數上的相關點(x n,y n)。因此，通過輸入信號g(t)上的點與輸出信號u(t) 上的點之間的關係
，完全可定義傳遞函數。

 

對於N位DAC，邊界值A和B取特定值，即 A = 0 且 B = 2^N–1。 而為了方便起見，指定邊界值C和D為 C = A 且 D = B。 這樣意味實際DAC 輸出信號的比例和偏移，因而其峰峰值範圍為0至 2^N–1。 利用A、B、C
、D的這些值，因為斜率 m = 1 且截距 b = 0。所以理想傳遞函數可簡化為 y=x。

 

到目前為止
，討論的重點還是理想的DAC傳遞函數，但現在我們有了可以處理失真DAC傳遞函數f(x)的工具，如圖2所示。需要注意的主要 特點是：傳遞函數不再是直線y=x

，而是一個形狀函數f(x)；圖中隨意以平滑弧形來表示。f(x)對輸出函數u(t)的影響也同樣重要。理想輸入 g(t)通過傳遞函數f(x)反射

，產生失真輸出u(t)。與現成DAC的傳遞函數相比，圖中所示的弧形傳遞函數較為誇張，僅為加強說明效果而已。 現代DAC的傳遞函數與理想的直線幾乎沒有偏差
，但即使最微小的偏差也會導致輸出頻譜中出現諧波雜散。

 

圖2. 失真的DAC傳遞函數

 

能否成功重構DAC傳遞函數，取決於是否能通過已知的g(t)和u(t)確定 各點(x_k,f(x_k))。這一過程分為兩步：首先采用一個代表理想采樣正弦 波的數值序列驅動DAC輸入
，利用頻譜分析儀測量DAC輸出，並記錄 基波信號和盡可能多諧波成分的幅值；然後將測得的諧波幅值轉換 為特定形狀的傳遞函數。如果操作得當，將g(t)代入f(x)仿真u(t)將產 生與測量結果相同的諧波失真值。

 

第一步：測量DAC諧波

 

第一步需要一個輸入序列，用來代表一個以等距時間間隔采樣的 理想正弦波周期。目標是重構DAC傳遞函數，因此從0到2^N–1的每個 DAC碼必須在輸入信號中至少出現一次。輸入序列需要2N以上的采 樣點才能以等距間隔使用每個DAC碼，實際上至少需要2^N+3個采樣 才能保證每個碼都出現。下式可產生2^K DAC碼的理想正弦序列(K≥ N+3)。函數round{x}將x舍入為最近的整數。

 

 

where n=0,1,2,3, ... 2^K–1

 

此方程式假設DAC將標準二進製格式的數字輸入字解碼為0至2^N–1 範圍內的無符號整數。對於偏移二進製或二進製補碼DAC
，必須調 整g_n以表示負值。

 

數值序列(g_n)以采樣速率f s重複提供給DAC
，因此DAC輸出頻譜含有 頻率f₀=f _s/2^k的基波信號。諧波出現在2f₀、3f₀、4f₀和f₀的其它整數倍。 由於DAC輸出頻譜具有采樣性質，因此這些諧波的幅度受sin(x)/x響 應的限製。不過，f₀與f_s相比微不足道，因此sin(x)/x響應實際上是平 坦的，可忽略不計。例如
，對於一個8位DAC，K≥11且f₀≤f_s/2048，100次 諧波的sin(x)/x將不超過0.39%(0.034 dB)。

 

為了準確重構傳遞函數f(x)

，需要根據諧波數(h)集盡可能記錄更多諧 波的幅值。這些整數從h=1（基波頻率）至h=H，其中H表示取測量幅 值的最高諧波數。例如
，對於10次諧波的測量
，H=10
，該諧波數集為 h={1, 2, 3, .. 10}。

 

然後
，將各測量諧波的幅值(M)與其諧波數關聯。例如

，M₁是1次諧波 （基波）的幅值，M₂是2次諧波的幅值
，依此類推至MH。諧波幅值通常 用相對於基波幅值的分貝數(dBc)來衡量。dBc轉換為線性單位的公 式如下：

 

 

其中D表示測得的諧波幅值
，單位為dBc。例如，如果3次諧波的幅值 為–40 dBc，則線性幅值M₃=10^–40/20或0.01。M1始終等於1，因為根據 定義，基波的幅值為0 dBc。

 

第二步：重構DAC傳遞函數

 

該過程的第二步涉及到將諧波測量結果與傳遞函數相關。f(x)上的點 取決於g(t)和u(t)上對應點之間的關係，因此首先必須將頻域中的諧 波幅值轉換到時域。請注意
，組成g(t)的DAC碼與g(t)正弦形式的相關 時間點一一對應。因此

，構成g(t)的DAC碼與時域相關。此外
，u(t)通 過f(x)與g(t)相關，而g(t)是一個時域函數
，因此u(t)也必須表示為時域 函數。這樣就能將g(t)中的各時間點tk鏈接到u(t)中的相關時間點，從 而由g(t)和u(t)確定f(x)。

 

將諧波幅值轉換到時域非常困難
，因為f(x)必須明確與g(t)中的各可 能DAC碼（0至2N–1）相關。g(t)是一個理想正弦波
，因此確保唯一性 的唯一方法是將範圍限製在該正弦波單調增加的位置，如圖3加粗 部分所示。如果沒有這一限製條件，f(x)上的一個點可能會映射到g(t) 上的兩個點
，從而導致不明確。

 

為演示這種不定性，請想象將區間T向下移動。現在
，f(x)上的點(x_k, f(x_k))可以與g(t)上的兩個點相關
，這是不可接受的。將範圍T限製在 圖中所示位置，將不存在不定性。g(t)為正弦波

，因此所需範圍T對應 於½周期，其初始相位偏移為3π/2弧度。

 

圖3. f(x)與g(t)之間的關係

 

g(t)的範圍受T限製意味著u(t)也具有類似的範圍限製。因此，將所記錄的諧波幅值轉換到時域時

，必須確保將u(t)限製在與g(t)相同的範圍T，如圖4所示。

 

圖4. g(t)和u(t)的時域範圍

 

請注意
，實際的時間範圍T無關緊要
，因為f(x)僅在g(t)和u(t)二者的幅 值之間起轉換作用。為簡化分析，將基波頻率(f₀)歸一化為1。因此，2 次諧波的頻率為2，3次諧波的頻率為3，如此類推。所以，諧波頻率 與諧波數(h)相等：f_h=h。這一便捷關係可簡化從諧波測量結果M_h創 建u(t)的數學計算。

 

正弦波的一般時域表達式為:

 

     

其中β為峰值振幅，θ為初始相位偏移。

 

用h代替f，並用M_h代替β，可以獲得各諧波u_h(t)的時域表達式。不過 應記住，g(t)偏 移3π/2弧度。此外，g(t)與u(t)之間通過f(x)關聯意味著 g(t)和u(t)在相位上是對準的。用3π/2代替θ可提供所需的對準。下式 中，請注意0≤t<1且π取代了2π，目的是將基波限製在範圍T所表示的 半個周期:

 

 

利用各諧波u_h(t)的時域表達式，便可以重構複合輸出u(t)，表示為基 波和諧波信號的和：

 

 

如前所述，我們的目標是將g(t)與u(t)相關以重構DAC傳遞函數f(x)。此 外

，g(t)必須恰好由2^N個樣本組成，以便與f(x)上的點一一對應。因此， g(t)的樣本計算公式為：

 

   

 (n=0,1,2,3 .. 2^N–1)

 

g(t)由2^N個樣本組成，因此由包括2^N個采樣的u(t)采樣值集重構f(x)似 乎是合理的。然而，事實卻是至少需要2^N+3個采樣才能為較小的M_h 值提供適當的精度。這種情況下
，u(t)各采樣點的計算公式應如下：

 

   

 (n=0,1,2,3 .. 2^N+3–1)

 

請注意，這將導致u(t)所含的采樣數多於g(t)，u(t)的多個樣本可能與 f(x)和g(t)上的一個點對應
，從而使u(t)和g(t)到f(x)的映射關係複雜化。 因此
，必須對特定的樣本組求平均值

，以便提供到f(x)的合理映射。 下麵的偽代碼反映了所需的映射關係，其中假設使用一個N位DAC， g(t)有2^N個點

，u(t)有2^N+3個點。陣列DacXfr含有2^N個元素，初始值均為0。執行該代碼後
，陣列DacXfr的元素包含歸一化的DAC傳遞函數。

 

n = 0

FOR i = 0 TO 2N–1

     AvgCnt = 0

     WHILE i = g[n]

          AvgCnt = AvgCnt + 1

          DacXfr[i] = DacXfr[i] + u[n]

          n = n + 1

          IF n >= 2N+3

               EXIT WHILE

          END IF

     END WHILE

     IF AvgCnt = 0

          EXIT (fail because array, g[ ], is missing a DAC code)

     END IF

     DacXfr[i] = (DacXfr[i]/AvgCnt)/2N

END FOR

 

驗證

 

為驗證本文所述的方法，使用一台頻譜分析儀來測量一個14位DAC 的輸出；該DAC由一個代表理想正弦波的輸入序列驅動。記錄了前 14次諧波的幅值（2次到15次，單位dBc）
，並利用這些值重構DAC傳 遞函數f(x)。然後，將理想正弦輸入序列g(t)代入重構的DAC傳遞函數 f(x)進行模擬，產生一個輸出序列。一個FFT將u(t)轉換為頻域等效值 U(ω)。從U(ω)提取諧波幅值，並將其與頻譜分析儀的測量結果相比較
， 如表1所示。請注意，與7次諧波相關的最大誤差僅為0.065 dB。

 

Table 1

 

由於比例關係
，重構傳遞函數的圖形呈現為一條直線(y=x)。事實上， 該傳遞函數與y=x的偏差足以產生表1所示的諧波成分。為幫助理解， 圖5僅顯示了該傳遞函數與理想直線的偏差。垂直軸的單位為LSB。

 

圖5. DAC傳遞函數的殘差

 

 

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