電子3C產品功能愈來愈豐富且IC製程的進化趨向於低壓大電流，使得芯片對電源的漣波及噪聲(Ripple Noise)yaoqiugengweiyanjin。shuzichanpinqiangtiaoqingbo
，xiangduidi，dianyuanmokuaiweifuheciyaoqiushibitishengqiehuanpinlvyisuoxiaowaibulingjiantiji。gaopinlianboyuzaoshengduishuzidianluxinhaodeyingxiangshibiyanzhong，youqishiyingyin(Video/Audio)信號及差動對數據傳輸信號(Differential Pair Signal)。

基於此因素，本文將以傅裏葉函數(Fourier Series Expansion)方式來探討同步交換式降壓轉換器(Synchronous Step Down Converter)輸出電壓紋波的波形
，並依電容完整等效串聯電阻(ESR)
、等效串聯電感(ESL)、電容值(Capacitance)對應的公式，經由理論推導
，有效地分析電源模塊輸出端紋波成分。

同步降壓交換式轉換器電路分析

同步降壓交換式電源轉換器的應用電路如圖1所示
，係統工作原理是藉由交錯式切換High Side (Q1)/Low Side (Q2)金屬氧化物場效晶體管(MOSFET)(上
、下橋晶體管)，將輸入能量轉換成輸出端適當電壓以提供到負載側。係統關鍵性被動組件電感及輸出電容組成的低通濾波器(Low Pass Filter)，用於傳送與儲存能量並濾除交流成分，讓輸出電壓成為平順的準直流需求。


在(zai)常(chang)規(gui)技(ji)術(shu)的(de)認(ren)知(zhi)下(xia)，當(dang)切(qie)換(huan)頻(pin)率(lv)愈(yu)快(kuai)，即(ji)可(ke)得(de)到(dao)較(jiao)小(xiao)的(de)輸(shu)出(chu)紋(wen)波(bo)，若(ruo)以(yi)流(liu)經(jing)電(dian)感(gan)電(dian)流(liu)乘(cheng)上(shang)輸(shu)出(chu)電(dian)容(rong)的(de)等(deng)效(xiao)串(chuan)聯(lian)電(dian)阻(zu)來(lai)估(gu)算(suan)峰(feng)值(zhi)紋(wen)波(bo)電(dian)壓(ya)是(shi)可(ke)得(de)到(dao)近(jin)似(si)數(shu)據(ju)，但(dan)與(yu)實(shi)際(ji)的(de)輸(shu)出(chu)紋(wen)波(bo)波(bo)形(xing)有(you)程(cheng)度(du)上(shang)的(de)誤(wu)差(cha)，因(yin)此(ci)必(bi)須(xu)考(kao)慮(lv)電(dian)容(rong)完(wan)整(zheng)的(de)等(deng)效(xiao)電(dian)路(lu)特(te)性(xing)
，便(bian)可(ke)獲(huo)得(de)正(zheng)確(que)的(de)解(jie)答(da)。

在切換式降壓轉換器中，電感電流會對電容充電或放電
，因此所有的紋波電流都會流經電容使得輸出到負載的電壓為穩定的直流電壓Vo。然而

，實際情形不是如 此，因為實際電容除了本身電容值外

，還包含等效串聯電阻與等效串聯電感參數特性，讓輸出紋波電壓(Ripple Voltage)ΔVo大於默認值，因此欲得到正確的輸出紋波，則須將如圖1所示完整的電容等效電路加以說明。

其中，Cap全稱為Capacitance
，意思是電容值
，其為電容最主要的參數
，應用於電路穩壓，補償或濾噪聲之用，可用電容公式來表示其特性，亦即Q = C·Vc或



而ESR(Equivalent Series Resistance)為等效串聯電阻，其為電容能量損耗及紋波的來源
，可用歐姆定律來表示其特性，亦即



至於ESL(Equivalent Series Inductance)
，表示等效串聯電感，可用電感微分公式來表示其特性

，公式為



qigankangzhengbiyupinlv，zaidipinshiqigankangdi

，buyiguancedaoqizuoyong，danzaipinlvjiaogaoshi，qigankangzengjia，huijiangdidianrongwenyalvbodegongneng。lingwaiyaobuchongdeshi，I為IL A.C成分，也就是電感電流的交流成分。

一般而言，在穩態(Steady State)jifuzaigudingshi
，shuchudianrongdewenbodianyazhuyaoshiyoudiangandewenbodianliuzaocheng
，kexianjisuanchudiangandewenbodianliu，zailiyongoumudinglv，dianganweifengongshijidianrongdianhechucungongshi
，fenbiejisuanchuESR、ESL及Capacitance的紋波電壓。再將此三種紋波加總起來，便可得輸出電容的紋波電壓
，如公式1所示：

......公式1

電感電流函數IL(t)可由公式2求得，其波形如圖2所示。在Ton時(上橋MOSFET導通)，輸入電源VCC供應能量到負載端且電感組件儲存磁能(電感電流為線性遞增)，依據法拉第定律(Faraday''s Law)：



將可得到導通周期(On-time Duty)電感電流斜率：

......公式2

在Toff時(下橋MOSFET導通)，電感釋放能量到負載(電感電流為線性遞減)；其關斷周期(Off-time Duty)電感電流斜率如公式3所示：

......公式3

應用傅裏葉函數頻域分析輸出紋波波形

依(yi)傅(fu)裏(li)葉(ye)級(ji)數(shu)展(zhan)開(kai)任(ren)意(yi)周(zhou)期(qi)性(xing)函(han)數(shu)可(ke)得(de)到(dao)頻(pin)率(lv)信(xin)號(hao)的(de)幅(fu)度(du)，也(ye)代(dai)表(biao)著(zhe)信(xin)號(hao)在(zai)不(bu)同(tong)頻(pin)率(lv)分(fen)量(liang)成(cheng)分(fen)的(de)大(da)小(xiao)。頻(pin)域(yu)分(fen)析(xi)是(shi)以(yi)輸(shu)入(ru)信(xin)號(hao)的(de)頻(pin)率(lv)為(wei)變(bian)量(liang)
，並(bing)能(neng)夠(gou)提(ti)供(gong)比(bi)時(shi)域(yu) (Time Domain)信號波形更直觀且包含頻率、振幅和相位信息。相對的傅裏葉變換(Fourier Transform)可將頻域函數轉換成時域的穩態輸出紋波Vo。因此

，傅裏葉級數與傅裏葉變換的優點是可讓分析者依所提供的任意輸入波形
，容易得到輸出紋波波形。

周期T傅裏葉級數為：



傅裏葉係數則是： ak及bk是共軛複數。

等效電感阻抗包含ZESR、ZESL、ZCo
，計算方式如下所示：



而LX電壓波形使用傅裏葉級數展開，表示如下：



因此，ESR Ripple傅裏葉級數展開如下所示：



ESL Ripple傅裏葉級數展開如下所示：



Cap Ripple傅裏葉級數展開如下所示：



Vo Ripple傅裏葉級數展開如下所示：



應用傅裏葉變換數值分析輸出電壓紋波

zaichulixinhaoshi，changjiyoufuliyebianhuanlaiqudexinhaosuoduiyingdepinpu，ranhouzaiyoupinpulaiduquxinhaodecanshu。danyouyusuozuodejisuanliangguoyupangda，dangchulidaliangdeshujushi，zexuyaokuaisuji 算的算法，因而衍生出快速傅裏葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)。快速傅裏葉變換大幅提高了頻譜的計算速度。

快速傅裏葉變換的使用條件包括：信號必須是周期性的
、取樣周期必須為信號周期的整數倍
、采樣率(Sampling Rate)必須高於信號最高頻率的兩倍以上

、取樣點數N必須為2k個數據。

快速傅裏葉變換原理的表示法，則如下所示：



舉例來說，當切換頻率(fsw)為1050kHz的降壓電路，輸入電壓為Vin=3.3伏特(V)，Vo=1.8伏特，L=2.7微亨 (μH)，Co=10微法(μF)
，ESR=4毫奧姆(mΩ)
，ESL=1.1奈亨(nH)
，fsw=280kHz。其實際量測的輸出電壓紋波、LX及電感紋波電流如圖3所suo示shi。若ruo給gei予yu任ren意yi輸shu入ru波bo形xing，由you傅fu裏li葉ye級ji數shu分fen析xi方fang法fa可ke得de到dao對dui應ying的de輸shu出chu紋wen波bo，利li用yong此ci方fang法fa提ti供gong一yi個ge快kuai速su有you效xiao的de方fang式shi，可ke分fen析xi計ji算suan輸shu入ru任ren意yi周zhou期qi波bo的de輸shu出chu紋wen波bo。


時域分析是以時間函數(Time Function)表示信號之特性
，依據時間及振幅所組成之坐標平麵來呈現出任何信號波形隨時間變化的瞬間物理量。時域分析輸出電壓紋波說明如下：

應用時域分析輸出紋波波形



選擇適當電感/電容值讓設計優化

本(ben)文(wen)提(ti)供(gong)了(le)傅(fu)裏(li)葉(ye)級(ji)數(shu)頻(pin)域(yu)分(fen)析(xi)，其(qi)特(te)色(se)就(jiu)是(shi)無(wu)須(xu)求(qiu)解(jie)複(fu)雜(za)的(de)微(wei)分(fen)公(gong)式(shi)並(bing)與(yu)時(shi)域(yu)分(fen)析(xi)相(xiang)對(dui)應(ying)
，充(chong)分(fen)驗(yan)證(zheng)理(li)論(lun)推(tui)導(dao)及(ji)實(shi)際(ji)量(liang)測(ce)波(bo)形(xing)的(de)對(dui)比(bi)。目(mu)的(de)是(shi)想(xiang)以(yi)較(jiao)嚴(yan)謹(jin)的(de)輸(shu)出(chu)電(dian)容(rong)等(deng)效(xiao)電(dian)路(lu)來(lai)分(fen)析(xi)交(jiao)換(huan)式(shi)降(jiang)壓(ya)轉(zhuan)換(huan)器(qi)輸(shu)出(chu)紋(wen)波(bo)電(dian)壓(ya)。

經由上述論證可得知，電容的等效串聯電阻
、等效串聯電感及電容值等特性均會影響輸出紋波振幅及相位，並利用基本的奧姆定律
、電感的微分公式推導電感與電流紋波變化，及電容器依據操作頻率充/放電荷以維持輸出電位穩定。

將上述三種影響紋波因素波形(等效串聯電阻
、等效串聯電感及電容值)線xian性xing迭die加jia，便bian可ke得de到dao完wan整zheng的de輸shu出chu紋wen波bo波bo形xing。透tou過guo此ci方fang法fa，可ke使shi研yan發fa工gong程cheng師shi在zai設she計ji切qie換huan式shi降jiang壓ya轉zhuan換huan器qi電dian源yuan時shi，根gen據ju電dian源yuan需xu求qiu及ji紋wen波bo允yun許xu變bian化hua量liang規gui格ge來lai選xuan擇ze適shi當dang的de電dian感gan和he電dian容rong值zhi，使shi其qi設she計ji達da到dao優you化hua。


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