【導讀】根據信號與係統答疑過程中，學生對於三角形信號卷積結果的疑惑
，給出了相應的數值、理論
、以(yi)及(ji)頻(pin)譜(pu)分(fen)析(xi)的(de)解(jie)答(da)。特(te)別(bie)是(shi)後(hou)麵(mian)頻(pin)譜(pu)分(fen)析(xi)部(bu)分(fen)也(ye)是(shi)由(you)另(ling)外(wai)參(can)加(jia)答(da)疑(yi)的(de)同(tong)學(xue)提(ti)出(chu)的(de)。之(zhi)所(suo)以(yi)這(zhe)個(ge)題(ti)目(mu)會(hui)產(chan)生(sheng)疑(yi)問(wen)，主(zhu)要(yao)原(yuan)因(yin)來(lai)自(zi)於(yu)卷(juan)積(ji)計(ji)算(suan)“圖解法”所帶來的誤導。圖解方法隻能幫助確定卷積的階段和積分上下限，求解卷積結果還是需要根據實際信號函數進行計算。

簡 介： 根據信號與係統答疑過程中，學生對於三角形信號卷積結果的疑惑
，給出了相應的數值、理論、以(yi)及(ji)頻(pin)譜(pu)分(fen)析(xi)的(de)解(jie)答(da)。特(te)別(bie)是(shi)後(hou)麵(mian)頻(pin)譜(pu)分(fen)析(xi)部(bu)分(fen)也(ye)是(shi)由(you)另(ling)外(wai)參(can)加(jia)答(da)疑(yi)的(de)同(tong)學(xue)提(ti)出(chu)的(de)。之(zhi)所(suo)以(yi)這(zhe)個(ge)題(ti)目(mu)會(hui)產(chan)生(sheng)疑(yi)問(wen)，主(zhu)要(yao)原(yuan)因(yin)來(lai)自(zi)於(yu)卷(juan)積(ji)計(ji)算(suan)“圖解法”所帶來的誤導。圖解方法隻能幫助確定卷積的階段和積分上下限，求解卷積結果還是需要根據實際信號函數進行計算。

01 三角波卷積

一
、答疑碰到的問題

這兩天信號與係統期末考試答疑中，多次碰到學生詢問起一個課堂練習的習題。也就是為什麼兩個等腰三角形的卷積是答案（C）：一個類似於升餘弦的光滑曲線，而不是答案（B）一個尖頂的脈衝。此時才意識到這個問題的確有和直覺相違背的地方。

圖1.1.1 三角波與自身的卷積波形：選擇題

通過分析，造成判斷錯誤的來源，實際上是誤用了求解卷積過程中的“圖解法”。tujiefangfatongguobajuanjideshuxueyunsuanzhuanhuanchengxinhaoboxingdebianhua，bangzhuquedingjuanjijieduanhejifendeshangxiaxian。danwangwangyehuiduijuanjijieguochanshengwudao，jibufentongxuehuijianglianggetuxiangzhongdieduiyingdetuxiangmianjidangzuoqiujiedejieguo
，danzhezhongqingkuangzhinengfashengzaiyigexinhaoshichangliangdeqingkuang。

圖1.1.2 對於簡單信號所使用的圖解方法

二、問題分析

這兩天答疑過程中
，學生也給出了對於這個問題很好的解釋。下麵給出相應的總結：

1
、數值求解

下麵是通過數值求解反映的 一些等腰三角形與其自身卷積的結果
，結果說明了兩個等腰三角學卷積的確是一個一階導數光滑的曲線。

圖1  三角波與三角波相互卷積

2、理論分析

對於這類有限長度的簡單信號

，在求解它們之間相互卷積的時候，同時使用“圖解法”幫bang助zhu確que定ding積ji分fen的de區qu間jian。由you於yu兩liang個ge三san角jiao波bo形xing自zi身shen都dou具ju有you兩liang個ge變bian化hua階jie段duan一yi個ge是shi上shang升sheng階jie段duan，一yi個ge是shi下xia降jiang階jie段duan。它ta們men的de長chang度du相xiang同tong，所suo以yi通tong過guo簡jian單dan分fen析xi可ke以yi知zhi道dao這zhe兩liang個ge三san角jiao波bo卷juan積ji過guo程cheng，它ta們men重zhong合he情qing況kuang可ke以yi分fen成cheng四si個ge階jie段duan，如ru下xia圖tu所suo示shi。當dang不在這四個階段的時候，兩個三角形不重合，卷積結果為 0。

圖1.2.2 卷積過程中四個不同的重疊階段

由於參與卷積的信號左右對稱，所以隻需要對於第一、第二階段進行求解；然後將結果偶對稱得到信號在之後的結果。

（1）第一個階段

在時，兩個三角形的重疊範圍是。此時對應的卷積運算為

這個求解化簡過於繁瑣，使用Python中的符號求積分軟件包可以幫助進行求解

t,T = symbols('t,T')

result = integrate(-(T-t-1)*(T+1),(T,-1,t))

（2）第二階段

在，參與卷積的信號重疊方式為如下圖所示，重疊區域為。

合並前麵求解的第一

、第二階段的公式
，將它們進行反褶之後
，便可以得到第三
、第四階段的公式。最終三角形卷積的結果為：

（3）數值驗證

下麵使用Python對上述公式進行繪製，查看卷積結果的信號波形。

def w(t,t1,t2):

  return heaviside(t-t1, 0.5)-heaviside(t-t2, 0.5)

def f1(t):

   return t**3/6 + t**2 + 2*t + 4/3

def f2(t):

  return -t**3/2 - t**2 + 2/3

def f(t):

    return f1(t) * w(t, -2, -1) +\

     f2(t) * w(t, -1, 0) +\

    f2(-t) * w(t, 0, 1) +\

    f1(-t) * w(t, 1, 2)

t = linspace(-2, 2, 500)

fdim = f(t)

plt.plot(t, fdim)

plt.xlabel("t")

plt.ylabel("f(t)")

plt.grid(True)

plt.tight_layout()

plt.show()

3、傅裏葉變換

可以利用傅裏葉變換卷積定理，分析兩個三角脈衝信號的卷積。對於高度為 1
，寬度為 2 的對稱等腰三角型，對應的頻譜為 

卷積結果對應的頻譜為：

當dang然ran，直zhi接jie從cong上shang麵mian結jie果guo進jin行xing傅fu裏li葉ye反fan變bian換huan求qiu解jie卷juan積ji時shi域yu表biao達da式shi也ye比bi較jiao麻ma煩fan，不bu過guo它ta可ke以yi告gao訴su我wo們men，卷juan積ji結jie果guo的de頻pin譜pu幅fu度du衰shuai減jian的de規gui律lv應ying該gai是shi。再由信號波形的光滑性與頻譜衰減之間的關係可知，卷積結果應該是滿足二階導數連續。由此也可以幫助判斷在選擇題中，隻有答案（C）能夠滿足二階導數連續的要求，其它三個信號波形對應的一階導數都不連續。

來源：TsinghuaJoking
，原創：卓晴  

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